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過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點作傾斜角為θ的直線l，設l交拋物線于A、B兩點.

(1)求|AB|?;

(2)求|AB|的最小值.

解：(1)當θ=90°時，直線AB的方程為x=.?

由得A(,-p)、B(,p).?

∴|AB|=2p.?

當θ≠90°時，直線AB的方程為y=(x-)tanθ.?

由得tan2θ·x2-(2p+ptan2θ)x+·tan2θ=0.?

設A(x1,y1)、B(x2,y2)，則x1+x2=.?

∴|AB|=x1++x2+=p+.?

(2)由(1)知當θ=90°時,|AB|最小為2p.

點評：求過拋物線焦點的弦長問題，一般是把弦分成兩條焦半徑利用焦半徑公式結合韋達定理來求.過焦點的最短弦(與對稱軸垂直)是拋物線的通徑.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的直線l與拋物線在第一象限的交點為A，與拋物線的準線的交點為B，點A在拋物線準線上的射影為C，若
AF
=
FB
，
BA
•
BC
=48，則拋物線的方程為（　�。�
A、y2=4x
B、y2=8x
C、y2=16x
D、y2=4
2
x

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過拋物線y2=2px（p＞0）上一定點P（x0，y0）（y0＞0）作兩條直線分別交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2），若PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，則
y1+y2y0
=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，O為拋物線的頂點．則△ABO是一個（　　）
A、等邊三角形B、直角三角形C、不等邊銳角三角形D、鈍角三角形

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的直線AB交拋物線于A，B兩點，弦AB的中點為M，過M作AB的垂直平分線交x軸于N．
（1）求證：FN=
12
AB；
（2）過A，B的拋物線的切線相交于P，求P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•武漢模擬）已知過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的直線交拋物線于M、N兩點，直線OM、ON（O為坐標原點）分別與準線l：x=-
p
2
相交于P、Q兩點，則∠PFQ=（　�。�

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