Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面AA₁C₁C⊥底面節(jié)ABCAA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O為AC的中點．
（I）求證：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）若E為BC₁的中點，求證：OE∥平面A₁AB；
（III）求直線A₁C與平面A₁AB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可知：平面AA₁C₁C⊥平面ABC，根據(jù)平面與平面垂直的性質定理可以得到，只要證明A₁O⊥AC就行了；
（Ⅱ）以O為原點，OA，OB，OA₁所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出平面A₁AB的法向量，證明OE與法向量垂直即可；
（III）利用向量的夾角公式，即可求直線A₁C與平面A₁AB所成角的正弦值．
解答：（Ⅰ）證明：因為A₁A=A₁C，且O為AC的中點，
所以A₁O⊥AC．
又由題意可知，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，交線為AC，且A₁O?平面AA₁C₁C，
所以A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）證明：以O為原點，OA，OB，OA₁所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
由題意可知，A₁A=A₁C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=AC=1，
所以得：O（0，0，0），A（1，0，0），A₁（0，0，），C₁（-2，0，），E（-1，，）
則有：=（-1，，）
設平面A₁AB的法向量為=（x，y，z），則由，可得
故可取
∴
∵OE?平面A₁AB
∴OE∥平面A₁AB；
（III）解：∵C（-1，0，0），∴=（-1，0，-）
∵平面AA₁B的一個法向量為
∴|=||=
∵因為直線A₁C與平面A₁AB所成角θ和向量與所成銳角互余，
∴sinθ=
點評：本小題主要考查空間線面關系、直線與平面所成的角、三角函數(shù)等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．