Question

如下圖所示，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE與平面ABCD所成的角為60°.

(1)求證：AC⊥平面BDE；

(2)求二面角F－BE－D的余弦值；

(3)設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

（1）見解析 （2） （3）M的坐標(biāo)為(2,2,0)，見解析

【解析】【解析】
(1)∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AC，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又DE∩BD＝D，∴AC⊥平面BDE.

(2)∵DE⊥平面ABCD，∴∠EBD就是BE與平面ABCD所成的角，即∠EBD＝60°.

∴＝.由AD＝3，得DE＝3，AF＝.

如圖所示，分別以DA，DC，DE所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(3,0,0)，F(xiàn)(3,0，)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，

∴＝(0，－3，)，＝(3,0，－2)．

設(shè)平面BEF的法向量為n＝(x，y，z)，則

，即.

令z＝，則n＝(4,2，)．

∵AC⊥平面BDE，

∴＝(3，－3,0)為平面BDE的一個(gè)法向量，

∴cos〈n，〉＝＝＝.

又二面角F－BE－D為銳角，故二面角F－BE－D的余弦值為.

(3)依題意，設(shè)M(t，t,0)(0≤t≤3)，則＝(t－3，t,0)，

∴AM∥平面BEF，∴·n＝0，

即4(t－3)＋2t＝0，解得t＝2.

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2,0)，此時(shí)＝，

∴點(diǎn)M是線段BD上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)．