Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²+mx+n（m，n∈R），f（0）=f（1），且方程f（x）=x有兩個相等的實數(shù)根．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈（0，2）時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）求出對稱軸，得到m，利用方程的根的關(guān)系，qcn，即可得到函數(shù)的解析式．
（2）通過配方，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求解函數(shù)的值域即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（0）=f（1），可知函數(shù)f（x）圖象的對稱軸為直線$x=\frac{1}{2}$，所以$-\frac{m}{2}=\frac{1}{2}$，
解得m=-1，所以f（x）=x²-x+n．
因為方程f（x）=x即x²-2x+n=0有兩個相等的實數(shù)根，所以其根的判別式△=（-2）²-4n=0，
解得n=1．
所以f（x）=x²-x+1．…（6分）
（Ⅱ）因為$f（x）={x^2}-x+1={（{x-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{3}{4}$，所以當(dāng)$x=\frac{1}{2}$時，$f{（x）_{min}}=\frac{3}{4}$，且f（x）＜f（2）=3．
所以函數(shù)f（x）的值域為$[{\frac{3}{4}，3}）$．…（12分）

點評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．