Question

【選修4-1幾何證明選講】
如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E、F分別為弦AB與弦AC上的點，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四點共圓．
（1）證明：CA是△ABC外接圓的直徑；
（2）若DB=BE=EA，求過B、E、F、C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．

Answer 1

分析：（1）已知CD為△ABC外接圓的切線，利用弦切角定理可得∠DCB=∠A，及BC•AE=DC•AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD=∠AFE．
利用B、E、F、C四點共圓，可得∠CFE=∠DBC，進而得到∠CFE=∠AFE=90°即可證明CA是△ABC外接圓的直徑；
（2）要求過B、E、F、C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．只需求出其外接圓的直徑的平方之比即可．由過B、E、F、C四點的圓的直徑為CE，及DB=BE，可得CE=DC，利用切割線定理可得DC²=DB•DA，CA²=CB²+BA²，都用DB表示即可．

解答：（1）證明：∵CD為△ABC外接圓的切線，∴∠DCB=∠A，
∵BC•AE=DC•AF，∴

BC

FA

=

DC

EA

．
∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD=∠AFE．
∵B、E、F、C四點共圓，∴∠CFE=∠DBC，∴∠CFE=∠AFE=90°．
∴∠CBA=90°，∴CA是△ABC外接圓的直徑；
（2）連接CE，∵∠CBE=90°，
∴過B、E、F、C四點的圓的直徑為CE，由DB=BE，得CE=DC，
又BC²=DB•BA=2DB²，
∴CA²=4DB²+BC²=6DB²．
而DC²=DB•DA=3DB²，
故過B、E、F、C四點的圓的面積與△ABC面積的外接圓的面積比值=

CE2

AC2

=

3DB2

6DB2

=

1

2

．

點評：熟練掌握弦切角定理、相似三角形的判定與性質、四點共圓的性質、直徑的判定、切割線定理、勾股定理等腰三角形的性質是解題的關鍵．