Question

14．設(shè)直線l為拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，且交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于C點(diǎn)，已知|AF|=4，$\overrightarrow{CB}$=2$\overrightarrow{BF}$，則p=2．

Answer 1

分析 分別過A、B作準(zhǔn)線的垂線，利用拋物線定義將A、B到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合已知比例關(guān)系，在直角三角形ADC中求線段PF長度即可得p值，進(jìn)而可得方程．

解答 解：如圖過A作AD垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為D，
過B作BE垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為E，P為準(zhǔn)線與x軸的焦點(diǎn)，
由拋物線的定義，|BF|=|BE|，|AF|=|AD|=4，
∵|BC|=2|BF|，∴|BC|=2|BE|，∴∠DCA=30°
∴|AC|=2|AD|=8，∴|CF|=8-4=4，
∴|PF|=$\frac{1}{2}$|CF|═2，即p=|PF|=2，
故答案為：2

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義及其應(yīng)用，拋物線的幾何性質(zhì)，過焦點(diǎn)的弦的弦長關(guān)系，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，屬中檔題