Question

已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0。
（Ⅰ）求證：對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同交點；
（Ⅱ）設l與圓C交與不同的兩點A、B，求弦AB的中點M的軌跡方程；
（Ⅲ）若定點P（1，1）分弦AB為，求此時直線l的方程。

Answer 1

（Ⅰ）證明：圓C：的圓心為C（0，1），半徑為，
∴圓心C到直線：mx-y+1-m=0的距離，
∴直線與圓C相交，即直線與圓C總有兩個不同交點。
（Ⅱ）解：當M與P不重合時，連結(jié)CM、CP，則CM⊥MP，
∴，
設，則，
化簡，得，
當M與P重合時，x=1，y=1也滿足上式，
故弦AB中點的軌跡方程是。
（Ⅲ）解：設，
由，得，
∴，化簡得，                                            ①
又由，消去y，得， （*）
∴，                                                                              ②
由①②，解得，
代入（*）式，解得，
∴直線的方程為x-y=0或x+y-2=0。