Question

橢圓C：(a>b>0)的兩個焦點為F₁、F₂，點P在橢圓C上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF₁|=，|PF₂|=.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l過圓x²+y²+4x-2y=0的圓心M，交橢圓C于A、B兩點，且A、B關(guān)于點M對稱，求直線l的方程.

Answer 1

解法一：（1）因為點P在橢圓C上，所以2a=|PF₁|+|PF₂|=6,a=3.

在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|==,故橢圓的半焦距c=,

從而b²=a²-c²=4,

所以橢圓C的方程為.

(2)設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁,y₁）,(x₂,y₂).

已知圓的方程為（x+2）²+(y-1)²=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（-2，1），

從而可設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)+1,

代入橢圓C的方程得（4+9k²）x²+(36k²+18k)x+36k²+36k-27=0.

因為A、B關(guān)于點M對稱，

所以,

解得k=.

所以直線l的方程為y=(x+2)+1,

即8x-9y+25=0.

(經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意)

解法二：（1）同解法一.

（2）已知圓的方程為（x+2）²+(y-1)²=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（-2，1）.

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為(x₁,y₁),(x₂,y₂).

由題意x₁≠x₂且                                                                           ①

                                                                                                 ②

由①-②得

+=0.                                                      ③

因為A、B關(guān)于點M對稱，

所以x₁+x₂=-4,y₁+y₂=2.

代入③得,

即直線l的斜率為，

所以直線l的方程為y-1=(x+2),

即8x-9y+25=0.

(經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意).