Question

如圖，過(guò)圓O外一點(diǎn)M作它的一條切線，切點(diǎn)為A，過(guò)A作直線AP垂直于直線OM，垂足為P，N為線段AP上一點(diǎn)，直線NB垂直于直線ON，且交圓O于B點(diǎn)．在B點(diǎn)處的切線交直線ON于K．
（1）證明：OM•OP=OB²；
（2）證明：△ONP∽△OMK．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圓O的切線性質(zhì)和射影定理即可得出；
（2）利用圓O的切線性質(zhì)和射影定理及相似三角形的性質(zhì)即可得出．
解答：證明：（1）因?yàn)镸A是圓O的切線，所以O(shè)A⊥AM，
又因?yàn)锳P⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OM•OP=OA²，
OA=OB，所以O(shè)M•OP=OB²．
（2）因?yàn)锽K是圓O的切線，所以O(shè)B⊥BK，
又因?yàn)锽N⊥OK，由射影定理知，OB²=ON•OK，
所以O(shè)P•OM=ON•OK，即．
又∠NOP=∠MOK，所以△ONP∽△OMK
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握?qǐng)A的切線性質(zhì)和射影定理及相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．