Question

【題目】已知函數(shù)（），且是它的極值點(diǎn)．

（1）求的值；

（2）求在上的最大值；

（3）設(shè)，證明：對(duì)任意， 都有．

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）因?yàn)?/span>是的一個(gè)極值點(diǎn)，所以,解得的值；

（2）由（1）知， ，討論區(qū)間端點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系明確的單調(diào)性，從而求得在上的最大值；

（3）設(shè)， ，其中， ，分別研究二者的最值即可.

試題解析：

（1） ，

因?yàn)?/span>是的一個(gè)極值點(diǎn)，所以，

所以．

（2）由（1）知， ，

易知在上遞增，在上遞減，

當(dāng)，即時(shí)， 在上遞增， ；

當(dāng)，即時(shí)， 在上遞減， ；

當(dāng)，即時(shí)， ．

（3），設(shè)， ，其中， ，

則，設(shè)，則，可知在上是增函數(shù)，

所以，即在上是增函數(shù)，

所以．

又，由，得；由，得，

所以在上遞減，在上遞增，

所以，從而．

所以，對(duì)任意， ， ．