Question

已知f（x）是定義在[﹣e，0）∪（0，e]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，f（x）=ax+2lnx，（a＜0，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈[﹣e，0）時(shí)，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)x=[﹣e，0），則﹣x∈（0，e]∴f（﹣x）=﹣ax+2ln（﹣x）．
∵f（x）是定義在[﹣e，0）∪（0，e]，上的奇函數(shù)，
∴f（x）=﹣f（﹣x）=ax﹣2ln（﹣x）．
故函數(shù)f（x）的解析式為：
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈（﹣e，0]時(shí)，
f（x）=ax﹣2ln（﹣x）有最小值是3．
∵．
①當(dāng)時(shí)，
由于x∈[﹣e，0），則f'（x）≥0．故函數(shù)f（x）=ax﹣2ln（﹣x）是[﹣e，0）上的增函數(shù)．
∴f（x）_min=f（﹣e）=﹣ae﹣2=4，解得（舍去）
②當(dāng)

綜上所知，存在實(shí)數(shù)a=﹣2e，使得當(dāng)x∈[﹣e，0）時(shí)，f（x）最小值4．