Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3，…）
（1）求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為T_n，
求證：≤T_n＜1．

Answer 1

【答案】分析：（1）n=1時(shí)，a₁=2．由S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，知S_n-S_n-1=a_n，n≥2，n∈N^*，由此能導(dǎo)出．
（2）由=-，知
=1-．由此能夠證明．
解答：解：（1）n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-2，
∴a₁=2．
∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，
∵S_n-S_n-1=a_n，n≥2，n∈N^*，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∵a_n≠0，
∴，n≥2，n∈N^*，
即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)a₁=2，公比q=2，
∴．
（2）∵
=
=-，
∴
=1-．（10分）
∵n∈N^*，
∴，．（12分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和前n項(xiàng)和的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．