Question

4．若平面向量$\overrightarrow{a}$與平面向量$\overrightarrow$的夾角等于$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=3，則2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$的夾角的余弦值為-$\frac{1}{26}$．

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，求出兩向量的模長以及夾角的余弦值即可．

解答 解：∵平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角等于$\frac{π}{3}$，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=3，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2×3cos$\frac{π}{3}$=3；
∴（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2${\overrightarrow}^{2}$
=2×2²+3×3-2×3²
=-1；
∴|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{{4\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{+\overrightarrow}^{2}}$
=$\sqrt{4{×2}^{2}-4×3{+3}^{2}}$
=$\sqrt{13}$，
|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{+4\overrightarrow}^{2}}$
=$\sqrt{{2}^{2}+4×3+4{×3}^{2}}$
=2$\sqrt{13}$；
設(shè)2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$的夾角為θ，則
cosθ=$\frac{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）}{|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow|×|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|}$=$\frac{-1}{\sqrt{13}×2\sqrt{13}}$=-$\frac{1}{26}$；
期2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$的夾角的余弦值為-$\frac{1}{26}$．
故答案為：-$\frac{1}{26}$．

點評 本題考查了平面向量數(shù)量積的應(yīng)用問題，考查了求模長與夾角的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．