Question

【題目】在如圖所示的三棱錐ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分別是BC，A1B1的中點(diǎn)．

（1）求證：DE∥平面ACC1A1；
（2）若AB⊥BC，AB=BC，∠ACB1=60°，求直線(xiàn)BC與平面AB1C所成角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：取AB的中點(diǎn)F，連接DF，EF

在△ABC中，因?yàn)镈，F(xiàn)分別為BC，AB的中點(diǎn)，

所以DF∥AC（中位線(xiàn)），

又∵DF平面ACC1A1，AC平面ACC1A1，

所以DF∥平面ACC1A1

在矩形ABB1A1中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，

∴EF∥AA1（中位線(xiàn)），

又∵EF平面 ACC1A1，AA1平面ACC1A1，

∴EF∥平面ACC1A1

∵DF∩EF=F，

∴平面DEF∥平面ACC1A1

∵DE平面DEF，

∴DE∥平面ACC1A1

（2）解：解法一：

∵三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，

∴BC⊥BB1，

又AB⊥BC，AB∩BB1=B，

∴BC⊥平面ABB1A1，

∵AB=BC，BB1=BB1，

∴△ABB1≌△CBB1

∴AB1=CB1，又 ，

∴△AB1C為正三角形，

∴ ，∴BB1=AB

取AB1的中點(diǎn)O，連接BO，CO，

∴AB1⊥BO，AB1⊥CO，

∴AB1⊥平面BCO，

∴平面AB1C⊥平面BCO，點(diǎn)B在平面AB1C上的射影在CO上，

∴∠BCO即為直線(xiàn)BC與平面AB1C所成角

在Rt△BCO中， ，

∴

解法二：由題知BB1，BA，BC兩兩互相垂直，故建立空間直角坐標(biāo)線(xiàn)如圖，

并設(shè)AB=2，BB1=t，

則A（0，2，0），C（0，0，2），B1（t，0，0）（t＞0）

∴ ，

∵ ，∴ =60°

∴ ，得t=2．

∴B1（2，0，0）， ，

設(shè)平面AB1C的法向量為

則 得x=y=z，取 =（1，1，1）

記直線(xiàn)BC與平面AB1C所成角為θ，且

則 =

∴

故直線(xiàn)BC與平面AB1C所成角的正切值為 ．

【解析】（1）根據(jù)題目特點(diǎn)，可由證面面平行，得到線(xiàn)面平行．（2）方法一：找出線(xiàn)面所成角，再構(gòu)造三角形求線(xiàn)面角的正切值；方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量所成角，求得線(xiàn)面角．
【考點(diǎn)精析】掌握直線(xiàn)與平面平行的判定和空間角的異面直線(xiàn)所成的角是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行；已知為兩異面直線(xiàn)，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．