Question

（13分）已知圓和直線．

⑴  證明：不論取何值，直線和圓總相交；

⑵  當取何值時，圓被直線截得的弦長最短？并求最短的弦的長度．

 

Answer 1

【答案】

24．⑴. 【證明】

方法一：圓的方程可化為：，圓心為，半徑.

直線的方程可化為：，直線過定點，斜率為.

定點到圓心的距離，

∴定點在圓內(nèi)部，∴不論取何值，直線和圓總相交.

方法二：圓的方程可化為：，圓心為，半徑.

圓心到直線的距離，

，因，，，

故，∴不論取何值，直線和圓總相交.

⑵. 圓心到直線的距離

被直線截得的弦長＝，

當時，弦長；

當時，弦長，下面考慮先求函數(shù)的值域.

由函數(shù)知識可以證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（證明略），

故當時，函數(shù)在處取得最大值－2；當時，函數(shù)在處取得最小值2.

即或，

故或，可得

或，即且，

且，

且.

綜上，當時，弦長取得最小值；當時，弦長取得最大值4.

 

【解析】略