Question

已知函數(shù)對任意實數(shù)恒有且當(dāng)時，有且.

(1)判斷的奇偶性；

(2)求在區(qū)間上的最大值；

(3)解關(guān)于的不等式.

 

Answer 1

(1)奇函數(shù)；(2)；

(3)當(dāng)時，

當(dāng)時，

當(dāng)時，

當(dāng)時,

【解析】

試題分析：(1)賦值法：先令，再令

(2)根據(jù) 以及當(dāng) 時，有 ，利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷得出為上的減函數(shù)；并由單調(diào)性求其最值;

(3)由（1）和（2）的結(jié)論，先將不等式化為；再由函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為 關(guān)于的不等式對的不同取值，分別討論不等式的解.

試題解析：解（1）取則

取

對任意恒成立 ∴為奇函數(shù).

（2）任取， 則

又為奇函數(shù)

∴在（－∞，+∞）上是減函數(shù).

對任意，恒有

而

∴在[－3，3]上的最大值為6

（3）∵為奇函數(shù)，∴整理原式得

進一步可得

而在（－∞，+∞）上是減函數(shù)，

當(dāng)時，

當(dāng)時，

當(dāng)時，

當(dāng)時,

考點：1、賦值法解決抽象函數(shù)的有關(guān)問題；2、函數(shù)單調(diào)性的定義；3、分類討論的思想.