Question

求函數的值域并分析其單調性．

Answer 1

解：y=log₂（2^x+1）•log₂（2^x-1+）
令log₂（2^x+1）=t
則y=t（t-1）=（t-）²-，t＞0
所以原函數值域為[-）
∵y=t（t-1）在[）上是增函數
由t≥）
又t=log₂（2^x+1）為增函數
所以原函數在[log₂（）上為增函數，
同理可得原函數在（-∞，log₂（）]上為減函數
分析：由已知中函數y=log₂（2^x+1）•log₂（2^x-1+）的解析式是一個較復雜的對數式，我們可以用換元法將函數的解析式簡化，令log₂（2^x+1）=t將可將函數的解析式為化二次函數，結合中間元t＞0，結合二次函數的圖象和性質，即可得到函數的值域，進而根據指數函數的單調性，對數函數的單調性，二次函數的單調性及復合函數的單調性的確定方法，即可判斷出其單調性．
點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象與性質的綜合應用，函數的值域，函數的單調性，其中利用換元法，將已知中復雜的函數解析式，進行化簡，是解答本題的關鍵．但換元時一定要注意中間元的取值范圍，以免出現錯誤．