Question

【題目】已知，.

（1）若恒成立.求的最大值；

（2）若，取（1）中的，當時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性可知為偶函數(shù)，根據(jù)時，恒成立可將問題轉化為時，，恒成立，求；利用導數(shù)，分別在和兩種情況下得到函數(shù)單調(diào)性，進而確定的范圍，從而得到最大值；

（2）將所證不等式轉化為證明當，，根據(jù)余弦函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性可分別求得不等號左右兩側函數(shù)的最大值和最小值，由此可證得不等式成立，從而得到結論.

（1），為偶函數(shù)，

當時，恒成立，

故題意可為：，，若恒成立，求的最大值.

，，

①若，則恒成立，在單調(diào)遞增，

又，有，，故在單調(diào)遞增，

又，有恒成立，此時的最大值.

②若，則存在最小的正數(shù)，使成立，此時，

當時，，在單調(diào)遞減，

又，有，，故在單調(diào)遞減，

又，有，，故，不恒成立，

即無最大值.

綜合①②可知，滿足題意的最大值.

（2）由（1）知，，證明：，

即證：，，

，，

由，恒成立，有，

即證：，，

，，（*）

當時，的最大值為，

當時，的最小值為，

故（*）式恒成立，即證得恒成立.