Question

某大學(xué)共有A、B、C三個學(xué)生食堂，一個宿舍共有四名學(xué)生，在一段時間內(nèi)，他們每天中午都在學(xué)生食堂用餐，且每個學(xué)生到這三個食堂中的任一食堂用餐的可能性都相等．用X表示這個宿舍每天中午在A食堂用餐的人數(shù)．根據(jù)這一時間段該宿舍學(xué)生的就餐情況解決下列問題：
（1）求每天中午每個學(xué)生食堂中至少有這個宿舍一名學(xué)生用餐的概率；
（2）求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望和方差．

Answer 1

【答案】分析：（1）每天中午每個學(xué)生食堂中至少有這個宿舍一名學(xué)生用餐的情況有種，四名學(xué)生到食堂用餐的情況共有3⁴種，由此能求出每天中午每個學(xué)生食堂中至少有這個宿舍一名學(xué)生用餐的概率．
（2）由題設(shè)知X的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），P（X=4），由此能求出X的數(shù)學(xué)期望和方差．
解答：解：（1）每天中午每個學(xué)生食堂中至少有這個宿舍一名學(xué)生用餐的情況有種，
四名學(xué)生到食堂用餐的情況共有3⁴種，
∴每天中午每個學(xué)生食堂中至少有這個宿舍一名學(xué)生用餐的概率P==．
（2）由題設(shè)知X的可能取值為0，1，2，3，4，
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
P（X=4）==，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P

∴EX=+=．
DX=（0-）²×+（1-）²×+（2-）²×+（3-）²×+（4-）²×=．
點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差，是歷年高考的必考題型，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．