Question

11．條件“|a|＜1，|b|＜1”是“|a+b|+|a-b|＜2”成立的充要條件．

Answer 1

分析 若“|a+b|+|a-b|＜2”成立，可得2＞|a+b+a-b|=2|a|，可得|a|＜1，同理|b|＜1．反之也成立，對a，b的大小分類討論即可得出．

解答 解：若“|a+b|+|a-b|＜2”成立，則2＞|a+b+a-b|=2|a|，可得|a|＜1，同理|b|＜1．
反之也成立，當0＜a≤b＜1時，|a+b|+|a-b|=a+b+b-a=2b＜2，同理0＜b≤a＜1時也成立；
當-1＜a≤b＜0時，|a+b|+|a-b|=-（a+b）+b-a=-2a＜2，同理-1＜b≤a＜0時也成立；
當-1＜a≤0≤b＜1時，|a+b|+|a-b|=|a+b|+b-a＜{b+a，-（b+a）}_max+b-a＜2，同理-1＜a≤0≤b＜0時也成立．
∴“|a|＜1，|b|＜1”是“|a+b|+|a-b|＜2”成立的充要條件．
故答案為：充要．

點評 本題考查了不等式的性質、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．