Question

如圖，α-l-β是120°的二面角，A、B是棱l上的兩點，且AB=2，D在平面α內(nèi)，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在平面β內(nèi)，三角形ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠ABC=60°.

(1)求三棱錐D-ABC的體積；

(2)求直線BD與平面β所成的角的正弦值；

(3)求二面角D-AC-B的平面角的正切值.

Answer 1

解：(1)過D作平面β的垂線，垂足為O，連結(jié)OA并延長至E.

∵AB⊥AD,OA為DA在平面β內(nèi)的射影,

∴OA⊥AB,∴∠DAE為二面角α-l-β的平面角,∴∠DAE=120°,                      

∴∠DAO=60°,∴AD=AB=2,∴DO=.

又D到平面β的距離DO=，∴V_ABC=·S_ABC·DO=.                          

(2)由(1)知∠DBO為BD與平面β成的角,

∴sin∠DBO=.                                                    

(3)過O在β內(nèi)作OF⊥AC，交AC的反向延長線于F，連結(jié)DF，則AC⊥DF,

∴∠DFO為二面角DACB的平面角，

又在三角形DOA中，OA=2cos60°=1,即∠OAF=∠EOC=60°,

∴OF=1·sin60°=,∴tan∠DFO==2.