Question

14．已知過(guò)點(diǎn)M （2，1）的直線l和橢圓x²+4y²=36相交于點(diǎn)A、B，且線段AB恰好以M為中點(diǎn)，求直線l的方程和線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 通過(guò)設(shè)l的方程為，并與橢圓聯(lián)立，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、韋達(dá)定理、兩點(diǎn)間距離公式，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：方法1：顯然直線l不垂直于x軸，設(shè)l的斜率為k．
則l的方程為y=k（x-2）+1，
將它和橢圓方程聯(lián)立，消去y得到：
（1+4k²）x²+（8k-16k²）x+16k²-16k-32=0，①
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{{16{k^2}-8k}}{{1+4{k^2}}}$．
∵M(jìn)（2，1）是AB的中點(diǎn)，∴x₁+x₂=4，故$\frac{{16{k^2}-8k}}{{1+4{k^2}}}$=4，②
解得：k=$-\frac{1}{2}$，∴直線l的方程為：x+2y-4=0，
由方程組$\left\{\begin{array}{l}x+2y-8=0\\{x^2}+4{y^2}=36\end{array}\right.$消去y，解得：$x=2±\sqrt{14}$，
∴直線和橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為：A（ 2-$\sqrt{14}$，1+$\frac{{\sqrt{14}}}{2}$）、B（2+$\sqrt{14}$，1-$\frac{{\sqrt{14}}}{2}$），
故|AB|=$\sqrt{70}$；
方法2：將點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓方程得到：
x₁²+4y₁²=36，x₂²+4y₂²=36，
兩式相減，得：（x₁+x₂）+4（y₁+y₂）$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$=0，③
因M（2，1）是AB的中點(diǎn)，即x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，且k=$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$代入③式，解得k=$-\frac{1}{2}$，
∴直線l的方程為：x+2y-4=0，
由①知，x₁+x₂=4，x₁x₂=-10，
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k^2}）（{{（x_1^{\;}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}）}=\sqrt{70}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及到中點(diǎn)坐標(biāo)公式、韋達(dá)定理、兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．