Question

已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過點，過點的直線與橢圓相交于不同的兩點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存直線，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程和性質(zhì)的和運用。第一問中，利用待定系數(shù)法求解橢圓的標準方程即可。結合橢圓的離心率為，且經(jīng)過點可得

（2）中假設存在直線滿足條件，由題意可設直線的方程為，聯(lián)立方程組

結合韋達定理可知且，即，

所以 ，解得.

因為，解得．

所以最終得到k=1/2.

解：（Ⅰ）設橢圓的方程為，由題意得

解得，，故橢圓的方程為．  ……………………5分

（Ⅱ）若存在直線滿足條件，由題意可設直線的方程為，

由得.

因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設兩點的坐標分別為，

所以.

整理得.

解得．

又，，

且，即，

所以 .  即 .

所以 ，解得.

所以．于是存在直線滿足條件，其的方程為.   ………………13分