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在數(shù)列{an}中，a1=
1
2
，an+1=
3an
an+3
．
（1）計算a2，a3，a4，猜想數(shù)列{an}的通項公式并加以證明；
（2）求證：
a1
3
+
a2
3
+…+
an
3
≥
2n
n+11
對一切n∈N*成立．
分析：（1）數(shù)列{an}中，由a1=
1
2
，an+1=
3an
an+3
，分別令n=1，2，3，依次求出a2，a3，a4，猜想數(shù)列{an}的通項公式并加以證明．
（2）由an=
3
n+5
，知
a1
3
+
a2
3
+…+
an
3
=
1
6
+
1
7
+…+
1
n+5
，故（
a1
3
+
a2
3
+…+
an
3
）[6+7+…+（n+5）]≥（1+1+…+1）2=n2，由此能夠證明
a1
3
+
a2
3
+…+
an
3
≥
2n
n+11
．
解答：解：（1）數(shù)列{an}中，∵a1=
1
2
，an+1=
3an
an+3
，
∴a2=
3×
1
2
1
2
+3
=
3
7
，
a3=
3×
3
7
3
7
+3
=
3
8
，
a4=
3×
3
8
3
8
+3
=
3
9
．
由此猜想：an=
3
n+5
．
證明：由an+1=
3an
an+3
，知
1
an+1
=
1
an
+
1
3
，
∴{
1
an
}是等差數(shù)列，
∴
1
an
=
1
a1
+(n-1)×
1
3
=
n+5
3
，
∴an=
3
n+5
．
（2）∵an=
3
n+5
，
∴
a1
3
+
a2
3
+…+
an
3
=
1
6
+
1
7
+…+
1
n+5
，
（
a1
3
+
a2
3
+…+
an
3
）[6+7+…+（n+5）]≥（1+1+…+1）2=n2，
∴
a1
3
+
a2
3
+…+
an
3
≥
n2
n(n+11)
2
=
2n
n+11
．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法和證明，考查不等式的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），則數(shù)列{an}的通項公式為an=
2-21-n
2-21-n
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a 1=
1
3
，并且對任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{
an
n
}的前n項和為Tn，證明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a=
12
，前n項和Sn=n2an，求an+1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中,a1=a,前n項和Sn構成公比為q的等比數(shù)列,________________.

(先在橫線上填上一個結論,然后再解答)

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年廣東省汕尾市陸豐市碣石中學高三（上）第四次月考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在數(shù)列{an}中，a，并且對任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{}的前n項和為Tn，證明：．

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