Question

【題目】已知橢圓：的一個焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)直線平行于直線（坐標(biāo)原點(diǎn)），且與橢圓交于，兩個不同的點(diǎn)，若為鈍角，求直線在軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ)。

【解析】

(Ⅰ)由焦點(diǎn)坐標(biāo)確定出c的值，根據(jù)橢圓的性質(zhì)列出a與b的方程，再將M點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程列出關(guān)于a與b的方程，聯(lián)立求出a與b的值，確定出橢圓方程即可；

(Ⅱ)設(shè)直線l方程為，A（x1，y1）、B（x2，y2），聯(lián)立l與橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示出x1+x2與x1x2，根據(jù)∠AOB為鈍角，得到0，即x1x2+y1y2<0，即可確定出m的范圍；

(Ⅰ)由已知，則 ①

又點(diǎn)在橢圓上，

所以 ②

由①②解得（舍去），．

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

(Ⅱ)由直線平行于得直線的斜率為，又在軸上的截距，

故的方程為．

由得，又線與橢圓交于，兩個不同的點(diǎn)，

設(shè)，，則，．

所以，于是．

為鈍角等價(jià)于，且，則，

即，又，

所以的取值范圍為．