Question

16．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1
（I）求證數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（II）設(shè)c_n=n•（a_n+1），求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）由a_n+1+1=2（a_n+1），得$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=2，由此能證明{a_n+1}是公比為2的等比數(shù)列．
（II）數(shù)列{a_n+1}的首項為2，公比為2，從而${a}_{n}+1=2•{2}^{n-1}={2}^{n}$，${c}_{n}=n•{2}^{n}$，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答 （本題滿分12分）
證明：（I）∵在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，
∴由a_n+1+1=2（a_n+1），得$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=2，
∴{a_n+1}是公比為2的等比數(shù)列．  …（4分）
解：（II）由（I）知，數(shù)列{a_n+1}的首項為a₁+1=2，公比為2，
${a}_{n}+1=2•{2}^{n-1}={2}^{n}$，${c}_{n}=n•{2}^{n}$，…（6分）
${T}_{n}=1•2+2•{2}^{2}+…+n•{2}^{n}$，①
∴2T_n=2¹+2²+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減，得：
-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．…（12分）

點評 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，考查等比數(shù)列、錯位相減法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．