Question

已知數列{a_n}前n項和S_n滿足a_n=2-2S_n．
（I）求a₁，a₂；
（II）求通項公式a_n；
（III）求證數列{S_n-1}為等比數列．

Answer 1

【答案】分析：（I）在a_n=2-2S_n，取n=1 求出a₁．再令n=2，化簡計算即可求出a2．
（II）利用數列中a_n與 Sn關系 解決．
（III）由已知，當n≥2時，2-2S_n=a_n=S_n-S_n-1  即3S_n=2+S_n-1，變形構造可以得出3（S_n-1）=S_n-1-1，問題易解．
解答：解：（I） 在a_n=2-2S_n
取n=1，則a₁=2-2S₁=2-2a₁∴a₁=
取n=2，則a₂=2-2S₂=2-2（a₁+a₂）=2-2（+a₂）∴a₂=．（2分）
（II）∵當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1
∴a_n-a_n-1=（2-2S_n）-（2-2S_n-1）=-2（S_n-S_n-1）=-2a_n
∴a_n=a_n-1，n≥2   又a₁=
∴a_n≠0，n∈N*
∴=
∴{a_n}為等比數列，且公比為
∴a_n=×（）^n-1=，n∈N*．（4分）
（III）  當n≥2時，2-2S_n=a_n=S_n-S_n-1  即：3S_n=2+S_n-1
∴3（S_n-1）=S_n-1-1  又S₁-1=a₁-1=-≠0
∴S_n-1≠0，n∈N*
∴=為常數
∴數列{S_n-1}為等比數列．（7分）
點評：本題考查由Sn求通項，等比數列的判定．考查變形轉化、構造，計算、推理論證能力．