Question

已知函數(shù)f(x)= -ax(a∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若a=1，函數(shù)g(x)=(x-m)f(x)-+x2+x在區(qū)間（0，+）上為增函數(shù)，求整數(shù)m 的最大值.

 

Answer 1

(1)所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù);(2)最大值為1

【解析】

試題分析：(1)利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；(2)解決類似的問題時(shí)，注意區(qū)分函數(shù)的最值和極值.求函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)使的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有使的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得.(3)第二問關(guān)鍵是分離參數(shù)，把所求問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題.(4)若可導(dǎo)函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為恒成立，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到.

試題解析： 【解析】
（Ⅰ）定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720213031297827/SYS201411172021489073804120_DA/SYS201411172021489073804120_DA.012.png">，，

當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)； 2分

當(dāng)時(shí)，由得，且當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，

所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù)． 6分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間上為增函數(shù)，

則在恒成立，

即在恒成立 8分

令，； ，；

令，可知，，

又當(dāng)時(shí)，

所以函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，即，

且； 9分

由上可知當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即，

所以，，有最小值， 10分

把代入上式可得，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720213031297827/SYS201411172021489073804120_DA/SYS201411172021489073804120_DA.038.png">，所以，

又恒成立，所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720213031297827/SYS201411172021489073804120_DA/SYS201411172021489073804120_DA.051.png">為整數(shù)，

所以，所以整數(shù)的最大值為1． 12分

考點(diǎn)：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題.