Question

2．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$．
（1）證明：函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$在[2，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求f（x）在[4，8]上的值域．

Answer 1

分析 （1）則先在給定的區(qū)間上任取兩個(gè)變量，且界大小，再作差變形看符號(hào)，若自變量與相應(yīng)函數(shù)值變化一致，則為增函數(shù)，若自變量變化與相應(yīng)函數(shù)值變化相反時(shí)，則為減函數(shù)，
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出值域．

解答 證明：（1）設(shè)x₁，x₂∈[2，+∞）且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{4}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
又由2＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$在[2，+∞）上是增函數(shù)，
（2）由（1）可知f（x）=x+$\frac{4}{x}$在[4，8]是增函數(shù)，
∵f（4）=4+1=5，f（8）=8+$\frac{1}{2}$=$\frac{17}{2}$，
∴f（x）在[4，8]上的值域?yàn)閇5，$\frac{17}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用單調(diào)性定義如何來證明函數(shù)單調(diào)性的，以及函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．