Question

9．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，且2acosC=2b-c．
（1）求A的大小；
（2）若△ABC為銳角三角形，求sinB+sinC的取值范圍；
（3）若$a=2\sqrt{3}$，且△ABC的面積為$2\sqrt{3}$，求cos2B+cos2C的值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理和夾角公式可得cosA=$\frac{1}{2}$，即可求出A的大小，
（2）求出角B的范圍，再根據(jù)sinB+sinC=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），利用正弦函數(shù)的性質即可求出范文，
（3）由余弦定理和三角形的面積公式求出b，c的值，再根據(jù)正弦定理即可求出B，C的值，問題得以解決

解答 解：（1）由余弦定理得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∵2acosC=2b-c，
∴2a•$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=2b-c，
即b²+c²-a²=ab，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$，
（2）∵△ABC為銳角三角形，
∴0＜B，C＜$\frac{π}{2}$，
∵C=$\frac{2π}{3}$-B，
∴$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，
∵sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴sinB+sinC的取值范圍為（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]，
（3）在△ABC中，由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
即12=b²+c²-bc   ①，
∵△ABC的面積為$2\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=2$\sqrt{3}$，
即bc=8，②，
由①②可得b=2，c=4，或b=4，c=2，
不放設b=2，c=4，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴sinB=$\frac{1}{2}$，sinC=1，
∴B=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{π}{2}$，
∴cos2B+cos2C=cos$\frac{π}{3}$+cosπ=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$

點評 本題考查了正弦定理余弦定理和三角形的面積公式以及三角函數(shù)的性質，考查了學生的運算能力和轉化能力，屬于中檔題