Question

已知F₁、F₂是橢圓的左、右焦點，A是橢圓上位于第一象限內的一點，點B與點A關于原點對稱，AF₂﹣F₁F₂=0，若橢圓的離心率等于
（Ⅰ）求直線AB的方程；
（Ⅱ）若△ABF₂的面積等于4，求橢圓的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，橢圓上是否存在點M使得△MA的面積等于8？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由知AF₂⊥F₁F₂
∵橢圓離心率等于，
所以c=a，b²=a²，
故橢圓方程可以寫成x²+2y²=a²，
設A（c，y_A），代入方程得y_A=a，
所以A（a，a），
故直線AB的斜率k=，
因此直線AB的方程為y=
（Ⅱ）連接AF₁、BF₁，由橢圓的對稱性可知S_△AEF1=S_△AEF1=S_△AF1F2，
所以
故橢圓方程為
（Ⅲ）由（Ⅱ）可以求得|AB|=2|OA|=2=4
假設在橢圓上存在點M使得△MAB的面積等于8，
設點M到直線AB的距離為d，則應有，
所以d=4
設M所在直線方程為x﹣2y±4=0
與橢圓方程聯(lián)立消去x得方程4y²±8y+32=0
即y²±2y+8=0，
∵△=（±2）²﹣4×8＜0
故在橢圓上不存在點M使得△MAB的面積等于8