Question

15．某班50位同學周考數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]．
（1）求圖中[80，90）的矩形高的值，并估計這50人周考數(shù)學的平均成績；
（2）根據(jù)直方圖求出這50人成績的眾數(shù)和中位數(shù)（精確到0.1）；
（3）從成績在[40，60）的學生中隨機選取2人，求這2人成績分別在[40，50）、[50，60）的概率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頻率分布直方圖的概率的和為1，即所求矩形的面積和為1，建立等式關(guān)系，可求出圖中[80，90）的矩形高的值，由此能估計這50人周考數(shù)學的平均成績．
（2）由頻率分布直方圖能求出50人成績的眾數(shù)和中位數(shù)．
（3）成績在[40，60）的學生有6人，其中成績在[40，50）、[50，60）中各有3人，由此利用等可能事件概率計算公式能求出這2人成績分別在[40，50）、[50，60）的概率．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖得：
（0.006×3+0.01+0.054+x）×10=1，
解得x=0.018．∴圖中[80，90）的矩形高的值為0.018．
由頻率分布直方圖估計這50人周考數(shù)學的平均成績：
$\overline{x}$=45×0.06+55×0.06+65×0.1+75×0.54+85×0.18+95×0.06=74（分）．
（2）由頻率分布直方圖得這50人成績的眾數(shù)為75，
∵（0.006+0.006+0.01+0.54）×10=0.76，
∴中位數(shù)應(yīng)位于第四個小矩形中，
設(shè)其底邊為x，高為0.054，則0.054x=0.28，
解得x≈5.2
∴中位數(shù)M=75.2．
（3）成績在[40，60）的學生有（0.006+0.006）×10×50=6人，
其中成績在[40，50）、[50，60）中各有3人，
從中隨機選取2人，基本事件總數(shù)n=${C}_{6}^{2}=15$，
這2人成績分別在[40，50）、[50，60）包含的基本事件個數(shù)m=${C}_{3}^{1}•{C}_{3}^{1}$=9，
∴這2人成績分別在[40，50）、[50，60）的概率p=$\frac{m}{n}=\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的求法，考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．