Question

（12分）如圖，三條直線(xiàn)、、兩兩平行，直線(xiàn)、間的距離為，直線(xiàn)、間的距離為，、為直線(xiàn)上的兩個(gè)定點(diǎn)，且，是在直線(xiàn)上滑動(dòng)的長(zhǎng)度為的線(xiàn)段.
（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求△的外心的軌跡；
（2）當(dāng)△的外心在上什么位置時(shí)，使最�。孔钚≈凳嵌嗌�？（其中，為外心到直線(xiàn)的距離）

Answer 1

解：（1）以直線(xiàn)b為x軸，以過(guò)點(diǎn)A且與b直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則由題意有A(0, p)，設(shè)△AMN的外心坐標(biāo)為C(x, y)，則M(x – p，0)，N(x+p, 0)，
由題意有|CA|="|CM|." ∴
化簡(jiǎn)，得x²=2py，它是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、y軸為對(duì)稱(chēng)軸、開(kāi)口向上的拋物線(xiàn).    
（2）不難知道，直線(xiàn)c恰為軌跡E的準(zhǔn)線(xiàn)，由拋物線(xiàn)的定義知，d=|CF|，其中是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn). ∴d+|BC|=|CF|+|BC|.
由兩點(diǎn)間直線(xiàn)段最短知，線(xiàn)段BF與軌跡E的交點(diǎn)即為所求的使d+|BC|最小的點(diǎn).
由兩點(diǎn)式方程可求得直線(xiàn)BF的方程為，
把它與x²=2py聯(lián)立，得.
故當(dāng)△AMN外心C為時(shí)，d+BC最小. 最小值

略