Question

7．如圖所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D為AB邊的中點(diǎn)，且CC₁=2AB．
（Ⅰ）求證：AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅱ）求點(diǎn)B到平面B₁CD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BC₁交B₁C于點(diǎn)O，連接DO，由三角形中位線的性質(zhì)得DO∥AC₁，從而證明AC₁∥平面CDB₁，
（Ⅱ）等體積法，三棱錐D-CBB₁的體積和三棱錐B₁-CBD體積相等，BB₁為三棱錐D-CBB₁的高，△CBB₁是直角三角形，面積可求，體積可求，再求得${S}_{△{B}_{1}CD}$，即可得解點(diǎn)B到平面B₁CD的距離．

解答 證明：（Ⅰ）證明：連接BC₁交B₁C于點(diǎn)O，連接DO．
則O是BC₁的中點(diǎn)，DO是△BAC₁的中位線．
所以DO∥AC₁．
因?yàn)镈O?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
所以AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅱ）解：因?yàn)镃C₁⊥平面ABC，
所以BB₁⊥平面ABC．
所以BB₁為三棱錐D-CBB₁的高．
V_D-CBB1=V_B1-CBD=$\frac{1}{3}$S_△BCD•BB1=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×4=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
所以三棱錐D-CBB₁的體積為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
因?yàn)椋築₁D=$\sqrt{{B}_{1}{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{17}$，CD=$\sqrt{C{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，B₁C=$\sqrt{B{C}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
由余弦定理可求cos∠B₁CD=$\frac{20+3-17}{2×2\sqrt{5}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$，sin∠B₁CD=$\frac{\sqrt{85}}{10}$，
則可得：${S}_{△{B}_{1}CD}$=$\frac{1}{2}$×B₁C×CD×sin∠B₁CD=$\frac{\sqrt{51}}{2}$，
所以，點(diǎn)B到平面B₁CD的距離d=3×$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{51}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的判定、線面平行的判定，用等體積法求三棱錐的體積，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．