Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n≥1，n∈N^*）．
（1）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n，求b_n；
（2）設(shè)c_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}-2{a}_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）設(shè)d_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求d₂₀₁₀．

Answer 1

分析 （1）求得a₂=3a₁+2=5，當(dāng)n＞1時(shí)，將n換為n-1，兩式相減，再由條件可得b_n=2b_n-1，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求；
（2）求出c_n，運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求；
（3）由（1）可得a_n+1-2a_n=3•2^n-1；即有$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{4}$，可得{d_n}為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求．

解答 解：（1）a₁=1，S_n+1=4a_n+2，
可得a₂+a₁=4a₁+2，即有a₂=3a₁+2=5，
當(dāng)n＞1時(shí)，S_n=4a_n-1+2，
相減可得a_n+1=4a_n-4a_n-1，
即有a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
即為b_n=2b_n-1，b₁=a₂-2a₁=5-2=3，
則b_n=b₁q^n-1=3•2^n-1；
（2）c_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}-2{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
前n項(xiàng)和T_n=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（3）由（1）可得a_n+1-2a_n=3•2^n-1；
即有$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{4}$，
即為d_n+1-d_n=$\frac{3}{4}$，
即有d_n=d₁+$\frac{3}{4}$（n-1）=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}$（n-1）=$\frac{3n-1}{4}$，
則d₂₀₁₀=$\frac{3×2010-1}{4}$=$\frac{6029}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，注意運(yùn)用下標(biāo)相減法和構(gòu)造法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．