Question

定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f（x）的最小正周期是π，且當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，f（x）=sin（2x+

π

3

）．
（1）求x∈[-

π

2

，0]時，f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單增區(qū)間．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的周期性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]的解析式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，求出f（x）在[-

π

2

，0]上的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的周期性與奇偶性，求出f（x）的單調(diào)性與單調(diào)增區(qū)間即可．

解答： 解：（1）當(dāng)x∈[-

π

2

，0]時，-x∈[0，

π

2

]，
∴f（-x）=sin（-2x+

π

3

）=-sin（2x-

π

3

）；
又∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）=-sin（2x-

π

3

）；…（6分）
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
由2x+

π

3

∈[

π

3

，

π

2

]，解得x∈[0，

π

12

]，
∴f（x）在[0，

π

12

]上是單調(diào)增函數(shù)，…（8分）
同理，當(dāng)x∈[-

π

2

，0]時，
f（x）在x∈[-

π

2

，-

π

12

]上是單調(diào)增函數(shù)；…（10分）
由函數(shù)的周期性知，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是
[kπ，

π

12

+kπ]、[-

π

2

+kπ，-

π

12

+kπ]，（k∈Z）；…（12分）

點評：本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用問題，也考查了利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．