Question

7．已知函數(shù)f（x-3）=lg$\frac{x}{x-6}$．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）利用換元法，可得函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）由（1）知定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再證f（-x）=-f（x），由定義可判斷出函數(shù)為奇函數(shù)．

解答 解：（1）設(shè)x-3=t，則x=t+3，
∴f（t）=lg$\frac{t+3}{t-3}$，
∴f（x）=lg$\frac{x+3}{x-3}$；
（2）由（1）可得定義域?yàn)?（-∞，-3）∪（3，+∞）
∵f（-x）=lg$\frac{-x+3}{-x-3}$=-lg$\frac{x+3}{x-3}$=-f（x）
∴f（x）是奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，奇函數(shù)的證明，考查運(yùn)算能力，變形轉(zhuǎn)化的能力．求解本題關(guān)鍵是熟練掌握對(duì)數(shù)和運(yùn)算法則．