Question

已知銳角α、β滿(mǎn)足且sinβ+sin（2α+β）=0
（1）求cosα的值；
（2）求α+β的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知的第一個(gè)等式后，再根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式即可求出cosα的值；
（2）由（1）求出的cosα的值，及α為銳角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinα的值，進(jìn)而求出tanα的值，以及sin2α和cos2α的值，然后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知第二個(gè)等式左邊的第二項(xiàng)，把sin2α和cos2α的值代入，合并移項(xiàng)后，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切求出tanβ的值，最后利用兩角和與差的正切函數(shù)公式表示出tan（α+β），把tanα和tanβ的值代入求出tan（α+β）的值，由α、β為銳角，求出α+β的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出α+β的度數(shù)．
解答：解：（1）∵，
整理得：（sin+cos）（sin-cos）=-1，
則cosα=cos²-sin²=；
（2）∵cosα=，且α為銳角，
∴sinα=，tanα=2，
則sin2α=2sinαcosα=，cos2α=cos²α-sin²α=-，
又sinβ+sin（2α+β）=0，
即sinβ+sin2αcosβ+cos2αsinβ=sinβ+cosβ-sinβ=0，
∴tanβ=3，
則tan（α+β）===-1，
又α、β為銳角，∴0＜α+β＜π，
則α+β=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，涉及的知識(shí)有：誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．