Question

16．如果函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，判斷下列函數(shù)的奇偶性．
（1）y=xf（x）；
（2）y=x²f（x）；
（3）y=f²（x）；
（4）y=$\frac{f（x）}{{x}^{2}+1}$．

Answer 1

分析 根據函數(shù)奇偶性的定義進行判斷即可．

解答 解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
設g（x）=xf（x）；
則g（-x）=-xf（-x）=xf（x）=g（x）．則函數(shù)為偶函數(shù)．
（2）設g（x）=x²f（x），
g（-x）=x²f（-x）=-x²f（x）=-g（x）；則函數(shù)為奇函數(shù)．
（3）設g（x）=f²（x），
則g（-x）=[f（-x）]²=f²（x）=g（x），
則函數(shù)為偶函數(shù)．
（4）設g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}+1}$，
則g（-x）=$\frac{f（-x）}{x^2+1}$=$\frac{-f（x）}{x^2+1}$=-g（x）．
則函數(shù)為奇函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關鍵．