Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n²+1=S_n(2+a_n),n為正整數(shù)，b_n=［］（其中［x］表示不大于x的最大整數(shù)）.

（1）試證數(shù)列{}為等差數(shù)列，并求a_n；

（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；

（3）求證：＜.

Answer 1

解:(1)∵S_n²+1=S_n(2+a_n),∴當(dāng)n≥2時(shí),S_n²+1=S_n(2+S_n-S_n-1).

∴S_nS_n-1=2S_n-1.∴(S_n-1)(S_n-1-1)=S_n-S_n-1.

∴=-1.∴{}是等差數(shù)列.

又∵S₁²+1=S₁(2+a₁),∴a₁²+1=a₁(2+a₁).∴a₁=.

∴+(-1)(n-1)=-n-1.∴S_n=.

∴a_n=S_n+-2=.

(2)∵==n-3+,且當(dāng)n=1、2時(shí),2≤＜3;

當(dāng)n=3、4、5、6、7、8時(shí),1≤＜2;當(dāng)n≥9時(shí),0＜＜1.

∴b_n=

∴T_n=

（3）∵=＜=［］,

∴＜++［()+()+…+()］＜++×=.