Question

18．某香料加工廠生產“沉魚落雁”和“國色天香”兩種香料，已知生產兩種香料每噸所需的原材料A，B，C的數量和一周內可用資源數量如下表所示：

原材料	沉魚落雁（噸）	國色天香（噸）	可用資源數量（噸）
A	3	2	20
B	3	1	20
C	2	5	25

如果“沉魚落雁”每噸的利潤為400元，“國色天香”每噸的利潤為300元，那么應如何安排生產，才能使香料加工廠每周的利潤最大？并求出最大利潤．

Answer 1

分析 由題意，z=400x+300y，約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y≤20}\\{3x+y≤20}\\{2x+5y≤25}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，求得最優(yōu)解，即求得利潤的最大值和最大值的狀態(tài)．

解答 解：由題意，z=400x+300y，約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y≤20}\\{3x+y≤20}\\{2x+5y≤25}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，如圖所示，
作直線4x+3y=0，并移動，可知當移動后的直線過B（$\frac{50}{11}$，$\frac{35}{11}$）時，4x+3y取得最大值，
則z=400x+300y取得最大值，故z_max=$\frac{30500}{11}$，
∴生產“沉魚落雁”$\frac{50}{11}$噸，“國色天香”$\frac{35}{11}$噸，才可以獲得最大周利潤$\frac{30500}{11}$元．

點評 本題主要考查用簡單的線性規(guī)劃研究目標函數的最大和最小值，關鍵是通過平面區(qū)域，求得最優(yōu)解，屬于線性規(guī)劃的應用題．