Question

將等差數(shù)列{a_n}的所有項(xiàng)依次排列，并如下分組：（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆，a₇），…，其中第1組有1項(xiàng)，第2組有2項(xiàng)，第3組有4項(xiàng)，…，第n組有2^n-1項(xiàng)，記T_n為第n組中各項(xiàng)的和，已知T₃=-48，T₄=0，
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求數(shù)列{T_n}的通項(xiàng)公式；
（III）設(shè)數(shù)列{ T_n }的前n項(xiàng)和為S_n，求S₈的值．

Answer 1

（I）設(shè){a_n}的公差為d，
由題意T₃=4a₇-6d=-48①，
T₄=8a₇+36d=0②，
解①、②得d=2，a₇=-9，
∴a_n=2n-23；
（II）當(dāng)n≥2時(shí)，在前n-1組中共有項(xiàng)數(shù)為：1+2+…+2^n-2=2^n-1-1，
故第n組中的第一項(xiàng)是{a_n}中的第2^n-1項(xiàng)，且第n組中共有2^n-1項(xiàng)，
∴第n組中的2^n-1項(xiàng)的和：
Tn=(2n-23)×2n-1+

2n-1(2n-1-1)

2

×2
=3×2^2n-2-24×2^n-1．
當(dāng)n=1時(shí)，T₁=a₁=-21適合上式，
∴T_n=3×2^2n-2-24×2^n-1．
（III）∵S₈=T₁+T₂+T₃+…+T_n，
即數(shù)列{a_n}前8組元素之和，且這8組總共有1+2+2²+…+2⁷=2⁸-1=255，
∴S₈=255a1+

1

2

×255×254×d
=255×（-21）+

1

2

×255×254×2
=59415．