Question

已知函數(shù)f(x)，g(x)在R上有定義，對(duì)任意的x，y∈R有f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)，且f(1)≠0．

(1)求證：f(x)為奇函數(shù)；

(2)若f(1)=f(2)，求g(1)+g(-1)的值；

(3)若f(1)=kf(2)(k＞0)，則記函數(shù)h(k)=g(1)+g(-1)+，討論函數(shù)h(k)的單調(diào)性并求極值．

Answer 1

答案：(1)因?yàn)閷?duì)任意的x，y∈R有f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y)，所以f(y-x)=f(y)g(x)-g(y)f(x)

∴f(x-y)=-f(y-x)，即f(x)=-f(x)

所以f(x)為奇函數(shù)．

(2)f(2)=f[1-(-1)]=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1)[g(-1)+g(1)]

∵f(2)=f(1)0，∴g(-1)+g(1)=1．

(3)∵f(1)=kf(2)(k＞0)，∴f(2)0，

由上知g(-1)+g(1)=，∴h(k)=+k(k＞0)

從而h′(k)=+1=(k＞0)

由此可得

k	(0,1)	1	(1,+∞)
h′(k)	-	0	+
h(k)	↘	極小值2	↗

所以h(k)在區(qū)間(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，在k=1時(shí)取得極小值2．