Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2lnx，h（x）=x²-x+a．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)k（x）=f（x）-h（x），若函數(shù)k（x）在[1，3]上恰有兩個不同零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先在定義域內(nèi)求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，來確定極值；
（II）先求出函數(shù)k（x）的解析式，然后研究函數(shù)k（x）在[1，3]上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)k（x）在[1，3]上恰有兩個不同零點，建立不等關(guān)系

k(1)≥0 k(2)＜0 k(3)＞0

，最后解之即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=2x-

2

x

，令f′（x）=0，∵x＞0∴x=
所以f（x）的極小值為1，無極大值．（7分）
（Ⅱ）∵

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	_	0	+
f（x）	減	1	增

k(x)=f(x)-h(x)=-2lnx+x-a∴k′(x)=-

2

x

+1，
若k′（x）=0，則x=2
當(dāng)x∈[1，2）時，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（2，3]時，f′（x）＞0．
故k（x）在x∈[1，2）上遞減，在x∈（2，3]上遞增．（10分）
∴

k(1)≥0 k(2)＜0 k(3)≥0

∴

a≤1 a＞2-2ln2 a≤3-2ln3

∴2-2ln2＜a≤3-2ln3．
所以實數(shù)a的取值范圍是：（2-2ln2，3-2ln3]（15分）

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)的零點等有關(guān)基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．