Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為的坐標(biāo)滿足圓方程，且圓心滿足.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，過與垂直的直線交圓于、兩點(diǎn)，為線段中點(diǎn)，若的面積 ，求的值.

Answer 1

【答案】（1），（2）.

【解析】

（1）根據(jù)的坐標(biāo)滿足圓方程可得到的值，圓心滿足，故圓心在橢圓上，將其代入可得橢圓方程；

（2）由題意可知，與直線平行，故點(diǎn)到直線的距離即為點(diǎn)到直線的距離，從而可以用表示出點(diǎn)到直線的距離，再用計(jì)算出弦長，從而得出關(guān)于的方程，進(jìn)而得出結(jié)果.

解：（1）因?yàn)?/span>的坐標(biāo)滿足圓方程，

故當(dāng)時(shí)，，

即，故，

因?yàn)閳A心滿足，

所以點(diǎn)在橢圓上，

故有，

聯(lián)立方程組，解得，

所以橢圓方程為；

（2）因?yàn)橹本�交圓于、兩點(diǎn)，為線段中點(diǎn)，

所以與直線垂直，

又因?yàn)橹本�與直線垂直，

所以與直線平行，

所以點(diǎn)到直線的距離即為點(diǎn)到直線的距離，

即點(diǎn)到直線的距離為，

設(shè)點(diǎn)

聯(lián)立方程組，

解得，

由韋達(dá)定理可得，

，

所以，

所以的面積為，

所以，

即，

兩邊同時(shí)平方，化簡得，

解得或（舍）

故.