Question

已知函數(shù)，g（x）=（a+1）x-4．
（Ⅰ）當a=-2時，求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a（a＞1），使得對任意的，恒有f（x）＜g（x）成立？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．（注：e為自然對數(shù)的底數(shù)．）

Answer 1

【答案】分析：（I）先對函數(shù)求導，然后可求y=f（x）在（1，f（1））處的切線斜率，即可求出切線方程
（II）構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），由題意可得h（x）在上的最大值小于0．利用導數(shù)可判斷h（x）的單調(diào)性，進而可求h（x）的最大值，即可
解答：解：（Ⅰ），（x＞0）．            …（3分）
∵，∴切點為，切線斜率k=f'（1）=-1．
∴f（x）在（1，f（1））處的切線方程為2x+2y-3=0．                  …（6分）
（Ⅱ）f（x）＜g（x）在上恒成立，也就是h（x）=f（x）-g（x）在上的最大值小于0．
令h（x）=f（x）-g（x）=，
則h'（x）=（x＞0）．     …（9分）
（1）若a≥e，則當時，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
當x∈[1，e]時，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減．
∴h（x）的最大值為，∴．                     …（11分）
（2）若1＜a＜e，則當時，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
當x∈[1，a]時，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當x∈[a，e]時，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
∴h（x）的最大值為max{h（1），h（e）}，從而．                 …（13分）
其中，由h（1）＜0，得，這與1＜a＜e矛盾．
綜合（1）（2）可知：當時，對任意的，恒有f（x）＜g（x）成立．…（15分）
點評：本題考查了導數(shù)與極值之間的關(guān)系，導數(shù)幾何意義的應用，以及函數(shù)與不等式之間的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想的應用．