Question

12．已知函數(shù)f（x）=（x+5）（x²+x+a）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-2，0）對(duì)稱(chēng)，設(shè)關(guān)于x的不等式f'（x+b）＜f'（x）的解集為M，若（1，2）?M，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為-6≤b＜0．

Answer 1

分析 利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，推出f（-4）=-f（0），求解a．化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用不等式推出b²+2bx+4b＜0對(duì)x∈（1，2）恒成立．通過(guò)b的取值討論求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-2，0）中心對(duì)稱(chēng)，則f（-4）=-f（0），由此求得a=-2，
∴f（x）=（x+2）（x²+4x-5）=x³+6x²+3x-10，f'（x+b）＜f'（x）?f'（x+b）-f'（x）＜0，即b²+2bx+4b＜0對(duì)x∈（1，2）恒成立．
顯然b=0不合題意．
當(dāng)b＞0時(shí)，f'（x+b）-f'（x）＜0?b＜-2x-4，b≤-8（舍去）；
當(dāng)b＜0時(shí)，f'（x+b）-f'（x）＜0?b＞-2x-4，b≥-6．綜上，b的取值范圍是-6≤b＜0．
故答案為：-6≤b＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心以及函數(shù)的恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方法，考查計(jì)算能力．