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已知拋物線y²=6x.（1）求以點(diǎn)M（4，1）為中點(diǎn)的弦所在直線的方程；（2）求過(guò)焦點(diǎn)F的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（3）求拋物線被直線y=x-m截得的弦的中點(diǎn)的軌跡.

試題答案

練習(xí)冊(cè)答案

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思路解析：可設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立消元求解；也可利用“設(shè)而不求”法.

解法一：如圖所示.

（1）設(shè)直線l：y-1=k(x-4)（顯然k存在且不為0），

即x=+4,代入y²=6x,整理得ky²-6y+6(1-4k)=0.

又設(shè)弦AB的端點(diǎn)為A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂），

則y₁+y₂=.

∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，∴=1，

即=1.∴k=3,直線方程為y-1=3(x-4)，即3x-y-11=0.

（2）焦點(diǎn)F（，0），設(shè)l：y=k(x-)(k≠0),

即x=+,代入y²=6x得ky²-6y-9k=0.

設(shè)AB中點(diǎn)為P(x₀，y₀),則y₀==. ①

又y₀=k(x₀-), ②

由①,得k=,代入②,得y₀=3(x₀-)，

即所求軌跡方程是y²=3(x-).

（3）由y²-6y-6m=0.設(shè)弦AB的中點(diǎn)為Q（x₀，y₀），

則由Δ=6²+4×6m＞0,得m＞-.

∴x₀=m+3＞，即中點(diǎn)Q的軌跡方程是y=3(x＞),

表示除去端點(diǎn)（，3）的一條射線.

解法二：設(shè)直線l交拋物線于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)為M（x₀，y₀），

由（y₁+y₂）（y₁-y₂）=6（x₁-x₂）.

∴k_l===.

（1）由已知y₀=1，∴k_l=3，直線方程為y-1=3(x-4)，即3x-y-11=0.

（2）∵k_l=k_MF,∴=,

即y₀²=3（x₀-）.

∴中點(diǎn)M的軌跡方程是y²=3（x-）.

（3）由已知,得k_l==1,∴y₀=3.

∵∴即直線y=3與拋物線的交點(diǎn)是（，3）.

∵直線l與拋物線相交，

∴中點(diǎn)M在拋物線內(nèi)，∴x₀＞，

即中點(diǎn)M的軌跡為射線y=3（x＞）.

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