Question

已知拋物線過焦點(diǎn)的任一條弦，設(shè)且

（1）若，求拋物線方程；

（2）是否存在常數(shù)，使，若存在，求出的值，并給予證明，若不存在，請說明理由；

（3）在拋物線對稱軸（的正方向）上是否存在一定點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的任意一條弦，使為定值，若存在，則求出定點(diǎn)的坐標(biāo)和定值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）  （2）存在，  （3）存在，定點(diǎn)為，定值為

解析:

（1）解：設(shè)代入

得

所以，拋物線方程為-----------------------------------------------------------------------4分

（2）當(dāng)軸時，

猜想：存在

一般地證明：，其中是的斜率，由拋物線的定義知，同理

，證畢-------10分

（3）解：假設(shè)存在這樣的定點(diǎn)

先探求定點(diǎn)坐標(biāo)及定值，當(dāng)軸時，有，又

，當(dāng)繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，點(diǎn)點(diǎn)，

得，點(diǎn)無窮遠(yuǎn)，，，由假設(shè)知

，猜想過定點(diǎn)為，定值為---------------------------------13分

再證明：結(jié)論：存在定點(diǎn)，過點(diǎn)的任意弦，使（定值）設(shè)，代入，得，記，

則，而，

，

（定值）------------------------------------------------------------------------18分