Question

1．過點(diǎn)M（1，1）作斜率為-$\frac{1}{2}$的直線與橢圓C：x²+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（0＜b＜1）交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的方程為x²+2y²=1．

Answer 1

分析 利用點(diǎn)差法，結(jié)合M是線段AB的中點(diǎn)，斜率為-$\frac{1}{2}$，即可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則 ${{x}_{1}}^{2}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}=1$①，${{x}_{2}}^{2}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}=1$②，
①-②得：${{x}_{1}}^{2}{{-x}_{2}}^{2}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}=0$，
即（x₁+x₂）（x₁-x₂）+$\frac{1}{^{2}}$（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，③
∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{1}}{2}$=1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{1}}{2}$=1，
故③可化為：（x₁-x₂）+$\frac{1}{^{2}}$（y₁-y₂）=0，
∵直線AB的方程是y=-$\frac{1}{2}$（x-1）+1，
∴y₁-y₂=-$\frac{1}{2}$（x₁-x₂），
故③可化為：（x₁-x₂）-$\frac{1}{^{2}}$•$\frac{1}{2}$（x₁-x₂）=0，
即（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{2b}^{2}}$）=0，
解得：b²=$\frac{1}{2}$，
故橢圓C的方程為x²+2y²=1，
故答案為：x²+2y²=1

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用點(diǎn)差法是關(guān)鍵